Googlisari

Χρήσιμα….

Εκπαιδευτικά νέα….

Τα νέα της lisari team...


1) Δημιουργικές εργασίες 2017 για Α΄ και Β΄ Λυκείου

2) Ύλη μαθηματικών Γ Λυκείου 2016 - 17

3) Η ύλη μαθηματικών Α΄ και Β΄ Λυκείου 2016 - 17

4) Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων 2000 - 2015 (σε ένα pdf και σε word).

5) Θέματα κανονικών και επαναληπτικών εξετάσεων 2016 (νέα ύλη).

6) 223 λυμένα επαναληπτικά θέματα της ΕΜΕ στη Γ΄ Λυκείου

(νέο) Ημερομηνία Πανελλαδικών εξετάσεων:

- Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής [9 – 6 – 2017]

- Μαθηματικά Γενικής Παιδείας [19 – 6 – 2017]


1) Το πρώτο βιβλίο της ομάδα μας (18/2/2016)!


2) Με καμάρι σας παρουσιάζουμε το
2ο βήμα (20/12/2016) της ομάδα μας!


3) Έπεται και το τρίτο βήμα της ομάδας.

Κυκλοφορεί!!

Ένα απαραίτητο εργαλείο για όλους τους μαθητές, ένα βιβλίο στοχευμένο στο μαθητή που έχουμε στο σχολείο, στο Φροντιστήριο στην τάξη.

Κυριακή, 11 Σεπτεμβρίου 2011

19η Άλυτη άσκηση: Τελευταίο ψηφίο please!


Βρείτε και δικαιολογήστε το τελευταίο ψηφίο
του αριθμού 72011


Η λύση όπως και η μεθοδολογία αυτού του είδους των ασκήσεων, θα δοθεί σε σύντομο διάστημα.

Όποιος ενδιαφέρεται να δώσει λύση πρέπει να είναι απλή, κατανοητή  και όσο γίνεται αναλυτική (η δυσκολία χρήσης Latex στα σχόλια είναι κατανοητή)!

Δείτε στα σχόλια 3 όμορφες λύσεις! Ξεχωρίζει η λύση του Γιάννη Φιορεντίνου με στοιχεία - γνώσεις Φυσικής! 




Η πηγή άρα και η έμπνευση της άσκησης είναι η ανάρτηση που βρήκα εδώ, http://papaveri48.blogspot.com/2011/06/blog-post_24.html και μετά από ερωτήσεις του Carlo (papaveri) να εξηγήσω την ίδια άσκηση με εκθέτη το 2011 (δείτε σχόλια http://lisari.blogspot.com/2011/09/blog-post_08.html) δημιούργησε αυτό το θέμα!

Σε ευχαριστούμε Carlo!

7 σχόλια :

  1. Έχουμε :

    7^2=-1(mod10)
    7^2006=-1(mod10)
    7^2007=3(mod10)
    7^2011=3(mod10)

    Άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Έχουμε:
    7^1=7 (τελευταίο ψηφίο 7)
    7^2=49 (τελευταίο ψηφίο 9)
    7^3=343 (τελευταίο ψηφίο 3)
    7^4=2401 (τελευταίο ψηφίο 1)
    7^5=16807 (τελευταίο ψηφίο 7)
    ...κλπ
    Παρατηρούμε μια "περιοδικότητα" με περίοδο 4 στην εμφάνιση του τελευταίου ψηφίου. (Το τελευταίο ψηφίο οιασδήποτε δύναμης μπορεί να είναι-διαδοχικά- κάποιος από τους αριθμούς 7,9,3 και 1, ξεκινώντας από το 7^1=7).
    Έτσι λοιπόν, και επειδή 2011/4
    δίνει πηλίκο 502 και υπόλοιπο 3, το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 3.
    Ή (πιο φορμαλιστικά):
    2011=3(mod4)
    Ο αριθμός 7^2011 έχει 1700 ψηφία!
    (Απλά από περιέργεια "ρώτησα" το Mathematica).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Και κοίτα "σύμπτωση" Μάκη:

    2011=3(mod4) και επίσης:
    7^2011=3(mod10).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μα η αρχή του Heizenberg δεν απαγορεύει τις συμπτώσεις;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Φίλε MichailidisK,
    έγραψα το δεύτερο σχόλιο, επειδή θεώρησα ότι η πρώτη μου απάντηση ίσως δεν ήταν καταφανής για όλους τους αναγνώστες, λόγω του (κοινού) αποτελέσματος 3. Τώρα που το ξαναβλέπω όμως μοιάζει σαν να υπαινίσσομαι κάτι για τη λύση σου. Ζητώ συγνώμη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Τελικά η εικόνα που έβαλα δεν ήταν τυχαία!

    Ευχαριστώ και τους δύο φίλους, άριστες λύσεις, απλά του Γιάννη είναι κατανοητή και στον μαθητή του Γυμνασίου!

    Heizenberg; Αρχή της απροσδιοριστίας;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. @ Χατζόπουλος Μάκης
    Μάκη σ' ευχαριστώ. Χαίρομαι που έγινα η αιτία να δημιουργηθεί μια τόσο ωραία ανάπτυξη σ' ένα θέμα μαθηματικό που ωφελήθηκα πολύ μαθαίνοντας το πως λύνονται αυτού του είδους οι ασκήσεις.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Creative Commons License Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Ελλάδα.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...